Un tren sale de Madrid hacia Barcelona con una velocidad de 80 km/h. Al mismo tiempo, sale un tren desde Barcelona hacia Madrid con una velocidad de 70 km/h. Si la distancia entre ambas localidades es de 600 km...
En primer lugar, conviene hacer un dibujo esquemático en el que representaremos las ciudades, unas flechas indicando la dirección y sentido que lleva cada tren, así como su rapidez, y la distancia que las separa:
El siguiente paso es elegir dónde ponemos el sistema de referencia. Si hacemos coincidir el trayecto de los trenes con el eje X, podemos poner el origen en Madrid, en Barcelona, en cualquier punto intermedio... Lo mejor, para ahorrar cálculos, es poner el origen en la ciudad más a la izquierda, de tal manera que las posiciones iniciales serían:
Hemos considerado que las posiciones aumentan de izquierda a derecha. Por ello, la velocidad de los cuerpos que se muevan de izquierda a derecha será POSITIVA, y de los cuerpos que se muevan de derecha a izquierda será NEGATIVA. Según este criterio:
Hay que tener en cuenta que para que dos cuerpos se encuentren deben coincidir AL MISMO TIEMPO en LA MISMA POSICIÓN, pero para calcularlo debemos plantear las ecuaciones de movimiento.
Las ecuaciones de movimiento de los cuerpos que se mueven con movimiento rectilíneo uniforme (MRU) son:
De modo que, para cada tren, vamos a deducir las ecuaciones que nos relacionarán la posición y velocidad con el tiempo:
TREN QUE SALE DE MADRID:
TREN QUE SALE DE BARCELONA:
Como ya hemos indicado, para que dos cuerpos se encuentren deben coincidir AL MISMO TIEMPO en LA MISMA POSICIÓN. Es decir, debe cumplirse que XM = XB, por lo que:
80 · t = 600 – 70 · t
Obtenemos una ecuación de primer grado cuya incógnita es "t" (tiempo), y cuya solución es el tiempo que tardan en encontrarse.
t = 4 h
Sustituyendo este valor en XM o XB obtendremos el mismo valor, que será la posición de los trenes (desde Madrid) cuando se encuentran.
Teniendo en cuenta que pusimos el sistema de referencia en Madrid, los trenes se encuentran a 320 km de Madrid, o a 280 km de Barcelona.
Una vez obtenidas las ecuaciones de movimiento, podemos construir una tabla de tiempos y posiciones:
|
t (h) |
XM (km) |
XB (km) |
|
0 |
0 |
600 |
|
1 |
80 |
530 |
|
2 |
160 |
460 |
|
3 |
240 |
390 |
|
4 |
320 |
320 |
|
5 |
400 |
250 |
|
6 |
480 |
180 |
|
7 |
560 |
110 |
|
8 |
640 |
40 |
|
9 |
720 |
-30 |
|
10 |
800 |
-100 |
Representando estos valores en una gráfica obtendremos dos lineas rectas (una por cada vehículo). Si se cortan en un punto es que los vehículos se encuentran, obteniéndose así los valores de tiempo y posición de cruce. Si no se cortan, significa que los vehículos no se cruzan.
En esta gráfica podemos comprobar que los trenes se cruzan cuando t = 4 h, y que el punto de cruce ocurre a los 320 km.
Hay dos aspectos que hay que tener en cuenta a la hora de resolver estos problemas:
Te propongo dos problemas para que lo intentes tú mismo:
Cuando hayas resuelto un ejercicio puedes comprobar si está bien resuelto o no mediante la siguiente hoja de cálculo:
Hoja de cálculo "encuentros.ods"
Ten en cuenta que necesitarás un software de hoja de cálculo que pueda abrir archivos con formato OpenDocument. Te recomiendo usar Libreoffice, que es una suite ofimática libre, gratuita, multiplataforma y que está totalmente traducida al castellano.
Solamente tienes que introducir los parámetros en las casillas B8 a B13. La hoja de cálculo y todo su contenido (tablas de datos, gráficas, etc.) se actualizará automáticamente.
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