Desde el borde de un acantilado de 30 m de altura lanzamos un cuerpo con una velocidad de 15 m/s y una inclinación de 30º.
Dato: g = 10 m/s2
En primer lugar, conviene hacer un dibujo esquemático en el que representaremos el acantilado, el mar y la dirección y sentido con la que se lanza el cuerpo.
El siguiente paso es elegir dónde ponemos el sistema de referencia. Lo mejor es ponerlo de tal manera que el origen del eje X coincida con el acantilado, y el origen del eje Y esté al nivel del mar.
Hemos considerado que las posiciones verticales aumentan de abajo hacia arriba, y las horizontales de izquierda a derecha.
Además, la velocidad inicial de lanzamiento es el módulo del vector "velocidad inicial". Debemos descomponer vectorialmente este vector teniendo en cuenta el ángulo de lanzamiento:
v_{ox} = v_o · cos \alpha = v_o · cos 30 = 15 · \frac{\sqrt{3}}{2} = 12,9904 \approx 13,00 \frac{m}{s}
v_{oy} = v_o · sen \alpha = v_o · sen 30 = 15 · \frac{1}{2} = 7,5 \frac{m}{s}
Para acabar, hay que tener en cuenta que el movimiento horizontal del cuerpo, si no consideramos el rozamiento con el aire, es rectilíneo uniforme (MRU), por lo que su aceleración horizontal es nula. En vertical el movimiento es rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA), siendo la aceleración igual a la de la gravedad.
Según el criterio de signos tendremos:
OJO: si se nos plantea este problema pero sobre la superficie de otro planeta o de la Luna habría que considerar el valor de su gravedad.
Las ecuaciones de movimiento de nuestro cuerpo corresponden con las de un movimiento rectilíneo uniforme (MRU) en el eje horizontal, y un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA) en el eje vertical. Por lo tanto, ahora tenemos 4 ecuaciones de movimiento:
POSICIÓN:
VELOCIDAD:
La ecuación de la trayectoria la obtenemos cuando expresamos la altura (Y) en función de la posición horizontal (X) en lugar de tenerla en función del tiempo. Para lograrlo, debemos sustituir el tiempo en la ecuación de X y sustituirla en la función de Y. Como normalmente Xo = 0:
X = vox · t
t = \frac{X}{v_{ox}}
Y = Y_o + \frac{v_{oy}}{v_{ox}}·X + \frac{a}{2·v_{ox}^2}·X^2
En un movimiento vertical por la acción de la gravedad, la altura máxima se alcanza cuando la componente vertical de la velocidad es igual a 0 (en el caso de la caída libre, la altura máxima coincide con la altura inicial). Por lo tanto, debemos calcular cuánto tarda en tener v = 0 y calcular, con ese valor de tiempo, qué altura ha alcanzado.
v = 7,5 – 10 · t = 0 → t = 0,75 s
Ymax = 30 + 7,5 · t – 5 · t2 = 30 + 7,5 · 0,75 – 5 · 0,752
Ymax = 32,81 m
Para calcular cuánto tarda en caer al suelo, debemos igualar Y = 0 y resolver la correspondiente ecuación de segundo grado:
Y = 30 + 7,5 · t – 5 · t2 = 0
obtenemos dos valores de tiempo:
t = – 1,81 s
t = 3,31 s
Un tiempo negativo no tiene sentido, ya que significaría que el cuerpo ha caído antes de ser lanzado, de modo que nos quedamos con el tiempo positivo.
Para calcular la velocidad de caída sustituimos este valor de tiempo en las ecuaciones de velocidad:
vx(caída) = 13 m/s
vy(caída) = 7,5 – 10 · t = 7,5 – 10 · 3,31
vy(caída) = – 25,62 m/s
OJO: la velocidad vertical es negativa porque corresponde a una caída, en la que el cuerpo se desplaza de arriba hacia abajo. Es decir, no es un valor incorrecto.
La velocidad, expresada como vector, sería:
\vec{v} = (13, -25.62) \frac{m}{s}
Podemos calcular el módulo de dicho vector:
|\vec{v}| = \sqrt{13^2 + (-25,62)^2} = 28,73 \frac{m}{s}
Podemos calcular el ángulo de inclinación del movimiento del suelo respecto a la horizontal sabiendo que la tangente de dicho ángulo se obtiene como:
tan \alpha = \frac{v_y}{v_x}
Por lo tanto:
\alpha = arctan \frac{v_y}{v_x} = arctan \frac{-25,62}{13} = -63,09366272
α = – 63º 5' 37"
Para calcularlo, debemos sustituir el tiempo de caída (ya calculado anteriormente) en la ecuación de la posición horizontal:
Xmax = vox · t = 13 · 3,31
Xmax = 43,05 m
X = 13 · t → t = 13 / X
Y = Y_o + \frac{v_{oy}}{v_{ox}}·X + \frac{a}{2·v_{ox}^2}·X^2 = 30 + \frac{7,5}{13}·X + \frac{-9,8}{2·7,5^2}·X^2
Y = 30 + 0,57735·X - 0,02904·X^2
Hay varios aspectos que hay que tener en cuenta a la hora de resolver estos problemas:
Te propongo dos problemas para que lo intentes tú mismo:
Cuando hayas resuelto un ejercicio puedes comprobar si está bien resuelto o no mediante la siguiente hoja de cálculo:
Hoja de cálculo "lanzamientos.ods"
Ten en cuenta que necesitarás un software de hoja de cálculo que pueda abrir archivos con formato OpenDocument. Te recomiendo usar Libreoffice, que es una suite ofimática libre, gratuita, multiplataforma y que está totalmente traducida al castellano.
Solamente tienes que abrir la pestaña "Lanzamiento horizontal - oblicuo" e introducir los parámetros en las casillas verdes. La hoja de cálculo y todo su contenido (tablas de datos, gráficas, etc.) se actualizará automáticamente.
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