Enunciado de un problema típico
Desde una azotea situada a 20 m del suelo lanzamos hacia arriba un cuerpo con una velocidad de 15 m/s. ¿Qué altura máxima alcanza? ¿Cuánto tarda en llegar al suelo y con qué velocidad lo hace?
El movimiento se demuestra andando
Lanzamiento vertical / caída libre
Cómo plantear el problema
En primer lugar, conviene hacer un dibujo esquemático en el que representaremos la azotea, el suelo, y la dirección y sentido con la que se lanza el cuerpo.
El siguiente paso es elegir dónde ponemos el sistema de referencia. Lo mejor es ponerlo en el suelo, y considerar la coordenada Y de la posición.
- Posición inicial del cuerpo: Yo = 20 m
Hemos considerado que las posiciones aumentan de abajo hacia arriba. Por ello, la velocidad de los cuerpos que se muevan de abajo hacia arriba será POSITIVA, y de los cuerpos que se muevan de arriba hacia abajo será NEGATIVA. Ocurre lo mismo con la aceleración. Según este criterio:
- Velocidad inicial del cuerpo: vo = 10 m/s
- Aceleración: a = –9,8 m/s2
El cuerpo se mueve verticalmente gracias a la gravedad, por lo que la aceleración (por estar situados sobre la superficie terrestre) es, en valor absoluto, 9,8 m/s2. OJO: si se nos plantea este problema pero sobre la superficie de otro planeta o de la Luna habría que considerar el valor de su gravedad.
Ecuaciones de movimiento
Las ecuaciones de movimiento de nuestro cuerpo corresponden con las de un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA), que son:
- POSICIÓN: Y = Yo + Vo · t + 1/2 · a · t2
- VELOCIDAD: v = vo + a · t
De modo que, sustituyendo nuestros valores de posición inicial, velocidad inicial y aceleración, tendremos:
- Y = 20 + 10 · t – 4,9 · t2
- v = 10 – 9,8 · t
Resolución mediante cálculos
En un movimiento vertical por la acción de la gravedad, la altura máxima se alcanza cuando la componente vertical de la velocidad es igual a 0 (en el caso de la caída libre, la altura máxima coincide con la altura inicial). Por lo tanto, debemos calcular cuánto tarda en tener v = 0 y calcular, con ese valor de tiempo, qué altura ha alcanzado.
v = 10 - 9,8 · t = 0 → t = 1,02 s
Ymax = 20 + 10 · t – 4,9 · t2 = 20 + 10 · 1,02 – 4,9 · 1,022
Ymax = 25,10 m
Para calcular cuánto tarda en caer al suelo, debemos igualar Y = 0 y resolver la correspondiente ecuación de segundo grado:
Y = 20 + 10 · t – 4,9 · t2 = 0
obtenemos dos valores de tiempo:
t = – 1,24 s
t = 3,28 s
Un tiempo negativo no tiene sentido, ya que significaría que el cuerpo ha caído antes de ser lanzado, de modo que nos quedamos con el tiempo positivo.
Para calcular la velocidad de caída sustituimos este valor de tiempo en la ecuación de velocidad:
vcaída = 10 – 9,8 · 3,28
vcaída = – 22,18 m/s
OJO: la velocidad es negativa porque corresponde a una caída, en la que el cuerpo se desplaza de arriba hacia abajo. Es decir, no es un valor incorrecto.
Resolución mediante gráficas posición-tiempo
Una vez obtenidas las ecuaciones de movimiento, podemos construir una tabla de tiempos y posiciones:
|
t(s) |
Y(m) |
v(m/s) |
|
0,00 |
20,00 |
10,00 |
|
0,13 |
21,22 |
8,73 |
|
0,26 |
22,27 |
7,45 |
|
0,39 |
23,15 |
6,18 |
|
0,52 |
23,88 |
4,90 |
|
0,65 |
24,43 |
3,63 |
|
0,78 |
24,82 |
2,36 |
|
0,91 |
25,04 |
1,08 |
|
1,04 |
25,10 |
-0,19 |
|
1,17 |
24,99 |
-1,47 |
|
1,30 |
24,72 |
-2,74 |
|
1,43 |
24,28 |
-4,01 |
|
1,56 |
23,68 |
-5,29 |
|
1,69 |
22,91 |
-6,56 |
|
1,82 |
21,97 |
-7,84 |
|
1,95 |
20,87 |
-9,11 |
|
2,08 |
19,60 |
-10,38 |
|
2,21 |
18,17 |
-11,66 |
|
2,34 |
16,57 |
-12,93 |
|
2,47 |
14,81 |
-14,21 |
|
2,60 |
12,88 |
-15,48 |
|
2,73 |
10,78 |
-16,75 |
|
2,86 |
8,52 |
-18,03 |
|
2,99 |
6,09 |
-19,30 |
|
3,12 |
3,50 |
-20,58 |
|
3,28 |
0,00 |
-22,18 |
Representando los valores de altura y tiempo en una gráfica obtendremos una parábola, cuyo máximo corresponde con la altura máxima.
Si representamos los valores de velocidad y tiempo obtenemos una línea recta inclinada (indicando que la velocidad varía uniformemente) hacia abajo (indicando que la aceleración es negativa).
A tener en cuenta
Hay varios aspectos que hay que tener en cuenta a la hora de resolver estos problemas:
- Normalmente pondremos el origen de alturas (Y=0) en el suelo, y contaremos alturas positivas hacia arriba y negativas (profundidades) hacia abajo. Con estos criterios la velocidad de caída y la gravedad siempre tendrán signo negativo, y la velocidad de subida signo positivo.
- En algunas ocasiones (pocas) puede resultar más cómodo contar alturas positivas hacia abajo y negativas hacia arriba. Con estos criterios la velocidad de caída y la gravedad siempre tendrán signo positivo, y la velocidad de subida signo negativo.
- En el caso de la caída libre, la velocidad inicial del cuerpo siempre es 0.
Inténtalo tú
Te propongo dos problemas para que lo intentes tú mismo:
- Dejamos caer un cuerpo desde una altura de 50 m. Si tomamos la gravedad como 10 m/s2...
- ¿Cuánto tiempo tarda en llegar al suelo?
- ¿Con qué velocidad llega al suelo?
- ¿Cuál es la altura máxima alcanzada?
- Calcula cuánto tiempo tarda en recorrer la mitad del camino y qué velocidad tiene en ese instante
- Lanzamos un cuerpo desde el suelo hacia arriba con una velocidad de 30 m/s. Calcula:
- ¿Cuánto tiempo tarda en llegar al suelo?
- ¿Con qué velocidad llega al suelo?
- ¿Cuál es la altura máxima alcanzada?
- Calcula cuánto tiempo tarda en llegar a una altura de 30 m y qué velocidad tiene en ese instante.
¿Necesitas que te echen una mano?
Cuando hayas resuelto un ejercicio puedes comprobar si está bien resuelto o no mediante la siguiente hoja de cálculo:
Hoja de cálculo "lanzamientos.ods"
Ten en cuenta que necesitarás un software de hoja de cálculo que pueda abrir archivos con formato OpenDocument. Te recomiendo usar Libreoffice, que es una suite ofimática libre, gratuita, multiplataforma y que está totalmente traducida al castellano.
Solamente tienes que abrir la pestaña "Lanzamiento vertical - caída libre" e introducir los parámetros en las casillas verdes. La hoja de cálculo y todo su contenido (tablas de datos, gráficas, etc.) se actualizará automáticamente.
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